三角形ABCにおいて、角Aが45度であり、外接円の半径が4であるとき、辺BCの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Aが45度であり、外接円の半径が4であるとき、辺BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して、辺BCの長さを求める。

正弦定理とは、三角形ABCにおいて、a, b, cをそれぞれの角A, B, Cの対辺の長さ、Rを外接円の半径とすると、

$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} = 2R$

が成り立つという定理である。

今回は、角Aの対辺の長さBCを求めたいので、正弦定理の

$\frac{BC}{sinA} = 2R$

を用いる。

問題文より、$A=45^\circ$, $R=4$ なので、

$\frac{BC}{sin45^\circ} = 2 \times 4$

$sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して、

$\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8$

両辺に$\frac{\sqrt{2}}{2}$をかけて、

$BC = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$