三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$, $CA = 3$, $\angle A = 45^\circ$のとき、$BC$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{2}$, $CA = 3$, $\angle A = 45^\circ$のとき、$BC$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。余弦定理とは、三角形の3辺の長さ$a$, $b$, $c$とそのうち1つの角$\theta$について、以下の関係が成り立つものである。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\theta$

この問題では、$BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $\angle BAC = \theta$とすると、$BC^2$は以下のようになる。

$BC^2 = CA^2 + AB^2 - 2 \cdot CA \cdot AB \cdot \cos(\angle BAC)$

与えられた値を代入する。

$BC^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるので、

$BC^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$BC^2 = 17 - 12$

$BC^2 = 5$

$BC > 0$より、

$BC = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$