三角形ABCにおいて、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$ であるとき、$CA$ の値を求め、$\sqrt{ }$ の中の値を答えよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 45^\circ$, $BC = 3$ であるとき、$CA$ の値を求め、$\sqrt{ }$ の中の値を答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle C$ を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

次に、正弦定理を用いる。正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}$

この式に値を代入すると、

$\frac{3}{\sin 120^\circ} = \frac{CA}{\sin 45^\circ}$

$CA = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$CA = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

したがって、$CA = \sqrt{6}$ となる。

3. 最終的な答え

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