三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=\sqrt{21}$, $\angle A=60^\circ$のとき、$CA$の長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=4$, $BC=\sqrt{21}$, $\angle A=60^\circ$のとき、$CA$の長さを求める。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$CA$の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \times AB \times CA \times \cos A$

$BC = \sqrt{21}$, $AB=4$, $\angle A = 60^\circ$であるから、

$(\sqrt{21})^2 = 4^2 + CA^2 - 2 \times 4 \times CA \times \cos 60^\circ$

$21 = 16 + CA^2 - 8 \times CA \times \frac{1}{2}$

$21 = 16 + CA^2 - 4CA$

$CA^2 - 4CA - 5 = 0$

$(CA-5)(CA+1) = 0$

$CA=5$または$CA=-1$

$CA$は三角形の辺の長さなので、$CA>0$である。

したがって、$CA=5$

3. 最終的な答え

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