$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $\angle BAC = 135^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の面積が $7\sqrt{2}$ であるとき、$CA$ の長さを求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB=4$, $\angle BAC = 135^\circ$ であり、$\triangle ABC$ の面積が $7\sqrt{2}$ であるとき、$CA$ の長さを求める。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ の面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times CA \times \sin(\angle BAC)$ で表される。

与えられた情報から、

$\frac{1}{2} \times 4 \times CA \times \sin(135^\circ) = 7\sqrt{2}$

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\frac{1}{2} \times 4 \times CA \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$

$2 \times CA \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$

$CA \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

$CA = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 7$

3. 最終的な答え

$CA = 7$