四角形ABCDが円に内接しており、直線TT'が点Cで円に接している。$\angle BAD = 100^\circ$、$\angle DCT' = 40^\circ$のとき、$\angle BDC$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、直線TT'が点Cで円に接している。$\angle BAD = 100^\circ$、$\angle DCT' = 40^\circ$のとき、$\angle BDC$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質を利用する。対角の和は180°なので、$\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$である。

次に、接弦定理を利用する。接線TT'と弦CDが作る角$\angle DCT'$は、弦CDに対する円周角$\angle CAD$と等しい。したがって、$\angle CAD = \angle DCT' = 40^\circ$である。

$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$であるから、$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 100^\circ - 40^\circ = 60^\circ$である。

円周角の定理より、$\angle BDC$は$\angle BAC$に対する円周角であるから、$\angle BDC = \angle BAC = 60^\circ$である。

3. 最終的な答え

60