三角形DBCは三角形ABCを辺BCを軸として回転して得られた三角形である。このとき、ベクトルBCとベクトルADが垂直であることを証明する。

## 問題1

1. 問題の内容

三角形DBCは三角形ABCを辺BCを軸として回転して得られた三角形である。このとき、ベクトルBCとベクトルADが垂直であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、回転の定義より、$|AB| = |DB|$かつ$|AC| = |DC|$が成り立つ。

ベクトルで考えると、$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$, $\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA}$となる。

$\vec{BC} \cdot \vec{AD} = (\vec{OC} - \vec{OB}) \cdot (\vec{OD} - \vec{OA})$

$= \vec{OC} \cdot \vec{OD} - \vec{OC} \cdot \vec{OA} - \vec{OB} \cdot \vec{OD} + \vec{OB} \cdot \vec{OA}$

$|AB|^2 = (\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2$

$|DB|^2 = (\vec{OB} - \vec{OD}) \cdot (\vec{OB} - \vec{OD}) = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$|AB| = |DB|$より$|AB|^2 = |DB|^2$なので、

$|\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OB}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$- 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = - 2\vec{OB}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$2\vec{OB}\cdot\vec{OD} - 2\vec{OB}\cdot\vec{OA} = |\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2$

$\vec{OB}\cdot\vec{OD} - \vec{OB}\cdot\vec{OA} = \frac{1}{2} (|\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2)$

$|AC|^2 = (\vec{OC} - \vec{OA}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2$

$|DC|^2 = (\vec{OC} - \vec{OD}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OD}) = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$|AC| = |DC|$より$|AC|^2 = |DC|^2$なので、

$|\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = |\vec{OC}|^2 - 2\vec{OC}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$- 2\vec{OC}\cdot\vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = - 2\vec{OC}\cdot\vec{OD} + |\vec{OD}|^2$

$2\vec{OC}\cdot\vec{OD} - 2\vec{OC}\cdot\vec{OA} = |\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2$

$\vec{OC}\cdot\vec{OD} - \vec{OC}\cdot\vec{OA} = \frac{1}{2} (|\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2)$

$\vec{BC} \cdot \vec{AD} = \vec{OC} \cdot \vec{OD} - \vec{OC} \cdot \vec{OA} - \vec{OB} \cdot \vec{OD} + \vec{OB} \cdot \vec{OA}$

$= \frac{1}{2} (|\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2) - \frac{1}{2} (|\vec{OD}|^2 - |\vec{OA}|^2) = 0$

したがって、$\vec{BC} \cdot \vec{AD} = 0$なので、$\vec{BC}$と$\vec{AD}$は垂直である。

3. 最終的な答え

ベクトルBCとベクトルADは垂直である。

## 問題2

1. 問題の内容

以下の2つの平行な直線を含む平面の方程式を求める。

$x = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{2}$

$x+1 = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{2}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの直線上の点を求める。

最初の直線の方程式を$x=t$とすると、$y=2t-2$, $z=2t-3$なので、直線上の点の一つは$(-1, -4, -5)$となる。

直線の方向ベクトルは$(1, 2, 2)$である。

二番目の直線の方程式を$x+1=s$とすると、$x=s-1$, $y=2s$, $z=2s-2$なので、直線上の点の一つは$(0, 2, 0)$となる。

直線の方向ベクトルは$(1, 2, 2)$である。

これらの2つの直線は平行である。

2つの直線を含む平面上の点は$(-1, -4, -5)$と$(0, 2, 0)$である。

この2点を通るベクトルは$(0-(-1), 2-(-4), 0-(-5)) = (1, 6, 5)$である。

直線の方向ベクトルは$(1, 2, 2)$である。

平面の法線ベクトルは、2つのベクトル$(1, 6, 5)$と$(1, 2, 2)$の外積で求められる。

$\vec{n} = (1, 6, 5) \times (1, 2, 2) = (6\times2 - 5\times2, 5\times1 - 1\times2, 1\times2 - 6\times1) = (12-10, 5-2, 2-6) = (2, 3, -4)$

平面の方程式は$2(x-x_0) + 3(y-y_0) -4(z-z_0) = 0$と表される。

この平面は点$(-1, -4, -5)$を通るので、

$2(x+1) + 3(y+4) - 4(z+5) = 0$

$2x + 2 + 3y + 12 - 4z - 20 = 0$

$2x + 3y - 4z - 6 = 0$

3. 最終的な答え

平面の方程式は $2x + 3y - 4z - 6 = 0$ である。