四角形ABCDに関する条件a～gが与えられています。 a：平行四辺形である。 b：AB=CD かつ BC=DA c：AD//BC d：AD//BC かつ ∠A=∠C e：二つの対角線がそれぞれの中点で交わる。 f：二つの対角線の長さが等しい。 g：二つの対角線が直交する。 (1) 条件b～gのうち、条件aの十分条件であるものをすべて挙げた組合せを選ぶ。 (2) 条件b～gのうち、条件aの必要条件であるものをすべて挙げた組合せを選ぶ。 (3) 「a かつ オ 」は四角形ABCDが長方形であるための必要十分条件となるようなオを選ぶ。 (4) 条件b～gのすべてを満たす四角形ABCDを選ぶ。
2025/7/22
1. 問題の内容
四角形ABCDに関する条件a～gが与えられています。
a：平行四辺形である。
b：AB=CD かつ BC=DA
c：AD//BC
d：AD//BC かつ ∠A=∠C
e：二つの対角線がそれぞれの中点で交わる。
f：二つの対角線の長さが等しい。
g：二つの対角線が直交する。
(1) 条件b～gのうち、条件aの十分条件であるものをすべて挙げた組合せを選ぶ。
(2) 条件b～gのうち、条件aの必要条件であるものをすべて挙げた組合せを選ぶ。
(3) 「a かつ オ 」は四角形ABCDが長方形であるための必要十分条件となるようなオを選ぶ。
(4) 条件b～gのすべてを満たす四角形ABCDを選ぶ。
2. 解き方の手順
(1) 十分条件：条件p⇒条件qが真であるとき、pはqの十分条件である。つまり、b～gの条件を満たせば、必ずa（平行四辺形）になるものを選ぶ。
* b：AB=CD かつ BC=DA は平行四辺形の定義そのものなので、aの十分条件である。
* c：AD//BC だけでは平行四辺形とは限らない（台形の場合がある）。
* d：AD//BC かつ ∠A=∠C は平行四辺形の定義なので、aの十分条件である。
* e：二つの対角線がそれぞれの中点で交わる は平行四辺形の定義なので、aの十分条件である。
* f：二つの対角線の長さが等しい だけでは平行四辺形とは限らない（等脚台形の場合がある）。
* g：二つの対角線が直交する だけでは平行四辺形とは限らない（凧形の場合がある）。
よって、b, d, eがaの十分条件となるので、答えは④。
(2) 必要条件：条件p⇒条件qが真であるとき、qはpの必要条件である。つまり、a（平行四辺形）ならば、必ずb～gの条件を満たすものを選ぶ。
* a：平行四辺形ならば、AB=CD かつ BC=DA (b)を満たす。
* a：平行四辺形ならば、AD//BC (c)を満たす。
* a：平行四辺形ならば、二つの対角線がそれぞれの中点で交わる(e)を満たす。
* a：平行四辺形ならば、対角線の長さが等しいとは限らない(f)。
* a：平行四辺形ならば、対角線が直交するとは限らない(g)。
よって、b, c, eがaの必要条件となるので、答えは③。
(3) 四角形ABCDが長方形であるための必要十分条件を考える。「a かつ オ 」が長方形の必要十分条件なので、a（平行四辺形）であり、かつ、オ が加わることで長方形になる条件を考える。
長方形は、平行四辺形であり、かつ、一つの角が直角である。または、平行四辺形であり、対角線の長さが等しい。
* h は長方形の条件にはなりえないので不適。
* c は平行なので不適。
* d は平行かつ角が同じなので平行四辺形にしかならない。
* e は対角線が中点で交わるので平行四辺形。
* f は対角線の長さが等しいので、長方形になる。
* g は対角線が垂直に交わるので、菱形になる。
したがって、f が長方形であるための必要十分条件となる。答えは④。
(4) 条件b～gのすべてを満たす四角形ABCDを考える。
* b：AB=CD かつ BC=DA
* c：AD//BC
* d：AD//BC かつ ∠A=∠C
* e：二つの対角線がそれぞれの中点で交わる
* f：二つの対角線の長さが等しい
* g：二つの対角線が直交する
これらの条件をすべて満たすのは正方形のみである。したがって、答えは①。
3. 最終的な答え
(1) ウ：④
(2) エ：③
(3) オ：④
(4) カ：①