座標平面上に2点 $A(1, 0)$ と $B(-2, 0)$ があります。 (1) 点 $A$, $B$ からの距離の比が $2:1$ である点の軌跡を求めます。 (2) 点 $C(x, y)$ に対して、$A$, $B$ それぞれから $C$ までの距離の2乗の和の最小値を求め、$a$ をある定数としたときの、点 $A$, $B$ それぞれからの距離の2乗の和が $a$ である点の軌跡を求めます。 (3) (1)で求めた円と(2)で求めた円が接するときの $a$ の値を求めます。

はい、この数学の問題を解いてみましょう。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $A(1, 0)$ と $B(-2, 0)$ があります。

(1) 点 $A$, $B$ からの距離の比が $2:1$ である点の軌跡を求めます。

(2) 点 $C(x, y)$ に対して、$A$, $B$ それぞれから $C$ までの距離の2乗の和の最小値を求め、$a$ をある定数としたときの、点 $A$, $B$ それぞれからの距離の2乗の和が $a$ である点の軌跡を求めます。

(3) (1)で求めた円と(2)で求めた円が接するときの $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $C(x, y)$ が点 $A(1, 0)$ と点 $B(-2, 0)$ からの距離の比が $2:1$ であるとき、

$AC : BC = 2 : 1$ となります。つまり $AC = 2BC$ です。

両辺を2乗すると、$AC^2 = 4BC^2$ となります。

$AC^2 = (x - 1)^2 + y^2$

$BC^2 = (x + 2)^2 + y^2$

$(x - 1)^2 + y^2 = 4((x + 2)^2 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 + 4x + 4 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 16x + 16 + 4y^2$

$3x^2 + 18x + 3y^2 + 15 = 0$

$x^2 + 6x + y^2 + 5 = 0$

$(x + 3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x + 3)^2 + y^2 = 4 = 2^2$

よって、中心が $(-3, 0)$ 、半径が $2$ の円となります。

(2) $AC^2 + BC^2$ を計算します。

$AC^2 + BC^2 = (x - 1)^2 + y^2 + (x + 2)^2 + y^2$

$= x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 + 4x + 4 + y^2$

$= 2x^2 + 2x + 2y^2 + 5$

$= 2(x^2 + x) + 2y^2 + 5$

$= 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 2y^2 + 5$

$= 2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2}$

よって、最小値は $x = -\frac{1}{2}, y = 0$ のとき $\frac{9}{2} = 4.5$ です。

$AC^2 + BC^2 = a$ とすると、

$2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2} = a$

$2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 = a - \frac{9}{2}$

$(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{a}{2} - \frac{9}{4}$

これは、中心が $(-\frac{1}{2}, 0)$ 、半径が $\sqrt{\frac{a}{2} - \frac{9}{4}}$ の円です。

問題文より、半径が $6$ なので、

$\sqrt{\frac{a}{2} - \frac{9}{4}} = 6$

$\frac{a}{2} - \frac{9}{4} = 36$

$\frac{a}{2} = 36 + \frac{9}{4} = \frac{144 + 9}{4} = \frac{153}{4}$

$a = \frac{153}{2} = 76.5$

(3) (1)で求めた円は中心 $(-3, 0)$ 、半径 $2$

(2)で求めた円は中心 $(-\frac{1}{2}, 0)$ 、半径 $6$ (問題文より)

2つの円が接するのは、中心間距離が半径の和または差に等しいときです。

中心間距離は $|-3 - (-\frac{1}{2})| = |-3 + \frac{1}{2}| = |-\frac{5}{2}| = \frac{5}{2} = 2.5$

半径の和は $2 + 6 = 8$

半径の差は $|2 - 6| = |-4| = 4$

(2)より $\sqrt{\frac{a}{2} - \frac{9}{4}}=r$

$\frac{a}{2} - \frac{9}{4} = r^2$

$a=2r^2+\frac{9}{2}$

内接する場合 $r=2.5-2=0.5$

外接する場合 $r=2.5+2=4.5$

$a=2(0.5)^2+\frac{9}{2}=0.5+4.5=5$

$a=2(4.5)^2+\frac{9}{2}=2(20.25)+4.5=40.5+4.5=45$

$a=5,45$

4 < a なので　a=45

3. 最終的な答え

1: -3

2: 2

3: $2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2}$

4: $\frac{9}{2}$

5: $-\frac{1}{2}$

6: $\sqrt{\frac{a}{2} - \frac{9}{4}}$

7: 5

8: 45