直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAからAC上をCまで、点QはBからBC上をCまで、それぞれ同じ速さで移動する。AC=BC=12cmとする。台形APQBの面積が40cm$^2$となるのは、点PがAから何cm動いたときか。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAからAC上をCまで、点QはBからBC上をCまで、それぞれ同じ速さで移動する。AC=BC=12cmとする。台形APQBの面積が40cm$^2$となるのは、点PがAから何cm動いたときか。

2. 解き方の手順

点PがAから$x$cm移動したとする。

すると、点QはBから$x$cm移動する。

三角形ABCの面積は、底辺BC=12cm、高さAC=12cmなので、

$\frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$ cm$^2$となる。

三角形CPQの面積は、CP=12-x cm、CQ=12-x cm なので、

$\frac{1}{2} (12-x)(12-x)$ cm$^2$となる。

台形APQBの面積は、三角形ABCの面積から三角形CPQの面積を引いたものなので、

$72 - \frac{1}{2} (12-x)(12-x) = 40$ となる。

$\frac{1}{2} (12-x)^2 = 72 - 40 = 32$

$(12-x)^2 = 64$

$12-x = \pm 8$

$x = 12 \pm 8$

$x = 4, 20$

$x$は12以下なので、$x=4$となる。

3. 最終的な答え

4cm