座標平面上の2点 A(1, 0), B(-2, 0) について、以下の問いに答える問題です。 (1) 点A、Bからの距離の比が2:1である点の軌跡を求める。 (2) 点C(x, y)に対して、A, BそれぞれからCまでの距離の2乗の和を求め、その最小値を求める。また、A, Bそれぞれからの距離の2乗の和がaである点の軌跡を求める。ただし、$a>4$

1. 問題の内容

座標平面上の2点 A(1, 0), B(-2, 0) について、以下の問いに答える問題です。

(1) 点A、Bからの距離の比が2:1である点の軌跡を求める。

(2) 点C(x, y)に対して、A, BそれぞれからCまでの距離の2乗の和を求め、その最小値を求める。また、A, Bそれぞれからの距離の2乗の和がaである点の軌跡を求める。ただし、$a>4$

2. 解き方の手順

(1) 点P(x, y)とする。AP:BP = 2:1 より、AP = 2BP 。両辺を2乗して、$AP^2 = 4BP^2$。

$AP^2 = (x-1)^2 + y^2$、$BP^2 = (x+2)^2 + y^2$ なので、

$(x-1)^2 + y^2 = 4((x+2)^2 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 + 4x + 4 + y^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 16x + 16 + 4y^2$

$3x^2 + 18x + 3y^2 + 15 = 0$

$x^2 + 6x + y^2 + 5 = 0$

$(x+3)^2 - 9 + y^2 + 5 = 0$

$(x+3)^2 + y^2 = 4 = 2^2$

よって、点(-3, 0)を中心とする半径2の円である。

(2) $CA^2 + CB^2 = ((x-1)^2 + y^2) + ((x+2)^2 + y^2)$

$= x^2 - 2x + 1 + y^2 + x^2 + 4x + 4 + y^2$

$= 2x^2 + 2x + 2y^2 + 5$

$= 2(x^2 + x) + 2y^2 + 5$

$= 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 2y^2 + 5$

$= 2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{10}{2} - \frac{1}{2}$

$= 2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2}$

よって、$x=-\frac{1}{2}, y=0$のとき、最小値$\frac{9}{2}$を取る。

$CA^2 + CB^2 = a$

$2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2} = a$

$2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 = a - \frac{9}{2}$

$(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{a}{2} - \frac{9}{4}$

$(x + \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{2a-9}{4}$

これは点$(-\frac{1}{2}, 0)$を中心とする半径$\sqrt{\frac{2a-9}{4}} = \frac{\sqrt{2a-9}}{2}$の円である。

3. 最終的な答え

(1) 1: (-3, 0), 2: 2

(2) 3: $2(x + \frac{1}{2})^2 + 2y^2 + \frac{9}{2}$, 4: $\frac{9}{2}$, 5: $(-\frac{1}{2}, 0)$, 6: $\frac{\sqrt{2a-9}}{2}$