三角形ABCにおいて、$AC=2$, $AB=1+\sqrt{3}$, $\angle A = 60^\circ$ であるとき、残りの辺の長さBC=aと角の大きさ$\angle B, \angle C$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AC=2$, $AB=1+\sqrt{3}$, $\angle A = 60^\circ$ であるとき、残りの辺の長さBC=aと角の大きさ$\angle B, \angle C$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず余弦定理を用いて辺BCの長さを求めます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ より、

$a^2 = 2^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cos 60^\circ$

$a^2 = 4 + (1+2\sqrt{3}+3) - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$a^2 = 4 + 4 + 2\sqrt{3} - 2(1+\sqrt{3})$

$a^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$a^2 = 6$

$a = \sqrt{6}$

次に正弦定理を用いて$\angle B$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ より、

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

$\sin B = \frac{2\sin 60^\circ}{\sqrt{6}} = \frac{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle B = 45^\circ$ または $\angle B = 135^\circ$

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$ より、

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$

もし$\angle B = 135^\circ$ ならば、$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 135^\circ = -15^\circ$ となり、これはありえない。

よって$\angle B = 45^\circ$

$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{6}$

$\angle B = 45^\circ$

$\angle C = 75^\circ$