(1) 点$(2, -1, 3)$を通り、平面$x - 2y + 2z = 5$に平行な平面の方程式を求めよ。 (2) 点$(3, 0, -1)$を通り、平面$2x - y + z = 5$と$x + y + 2z = 0$に垂直な平面の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点$(2, -1, 3)$を通り、平面$x - 2y + 2z = 5$に平行な平面の方程式を求めよ。

(2) 点$(3, 0, -1)$を通り、平面$2x - y + z = 5$と$x + y + 2z = 0$に垂直な平面の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平面$x - 2y + 2z = 5$に平行な平面の方程式は、$x - 2y + 2z = d$と表せる。この平面が点$(2, -1, 3)$を通るので、

$2 - 2(-1) + 2(3) = d$

$2 + 2 + 6 = d$

$d = 10$

したがって、求める平面の方程式は$x - 2y + 2z = 10$

(2) 求める平面の法線ベクトルを$\vec{n}$とする。平面$2x - y + z = 5$の法線ベクトルは$\vec{n_1} = (2, -1, 1)$、平面$x + y + 2z = 0$の法線ベクトルは$\vec{n_2} = (1, 1, 2)$である。

$\vec{n}$は$\vec{n_1}$と$\vec{n_2}$の両方に垂直なので、$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$と置ける。

$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(2) - (1)(1) \\ (1)(1) - (2)(2) \\ (2)(1) - (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ 1 - 4 \\ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$

したがって、求める平面の法線ベクトルは$\vec{n} = (-3, -3, 3)$である。このベクトルは$(-1, -1, 1)$に平行なので、求める平面の方程式は$-x - y + z = d$と表せる。この平面が点$(3, 0, -1)$を通るので、

$-3 - 0 + (-1) = d$

$d = -4$

したがって、求める平面の方程式は$-x - y + z = -4$であり、$x + y - z = 4$となる。

3. 最終的な答え

(1) $x - 2y + 2z = 10$

(2) $x + y - z = 4$