$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + 4x}$ が $x$ に近似できるのはなぜか、という質問です。

1. 問題の内容

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + 4x}$ が $x$ に近似できるのはなぜか、という質問です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2 + 4x}$ を変形して、 $x$ が非常に大きい場合に $x$ に近づくことを示します。

まず、ルートの中身を $x^2$ でくくり出します。

$\sqrt{x^2 + 4x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})}$

$x > 0$ のとき、$\sqrt{x^2} = x$ なので、

$\sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$

ここで、$x$ が無限大に近づくと、$\frac{4}{x}$ は 0 に近づきます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} = 0$

したがって、$x$ が非常に大きいとき、$1 + \frac{4}{x}$ は 1 に近づきます。

$x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} \approx x\sqrt{1} = x$

よって、$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + 4x}$ は $x$ に近似できます。

3. 最終的な答え

$x$ が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + 4x}$ はおおよそ $x$ に等しくなります。

これは、$\sqrt{x^2 + 4x} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$ と変形でき、$x$ が大きくなるにつれて $\frac{4}{x}$ が 0 に近づくためです。