与えられた曲線について、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求めます。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) $y = x^2 - x$ における $x = 3$ の点の接線 (2) $y = \frac{1}{x}$ における $x = 2$ の点の接線 (3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ における $x = 8$ の点の接線 (4) $y = e^{2x}$ における $x = 0$ の点の接線

1. 問題の内容

与えられた曲線について、指定された $x$ 座標に対応する点における接線の方程式を求めます。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) $y = x^2 - x$ における $x = 3$ の点の接線

(2) $y = \frac{1}{x}$ における $x = 2$ の点の接線

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2}$ における $x = 8$ の点の接線

(4) $y = e^{2x}$ における $x = 0$ の点の接線

2. 解き方の手順

接線の方程式は、一般に $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標、$m$ は接線の傾きです。

各問題について、以下の手順で解きます。

(a) 接点の $y$ 座標 $y_1$ を求めます。与えられた $x$ の値を関数の式に代入することで求められます。

(b) 導関数 $y'$ を求めます。

(c) 導関数に $x$ の値を代入して、接線の傾き $m$ を求めます。

(d) 接点の座標 $(x_1, y_1)$ と傾き $m$ を接線の方程式に代入し、整理します。

(1) $y = x^2 - x$ における $x = 3$ の点

(a) $y_1 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$

(b) $y' = 2x - 1$

(c) $m = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

(d) $y - 6 = 5(x - 3)$ より、$y = 5x - 15 + 6$

$y = 5x - 9$

(2) $y = \frac{1}{x}$ における $x = 2$ の点

(a) $y_1 = \frac{1}{2}$

(b) $y' = -\frac{1}{x^2}$

(c) $m = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$

(d) $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$ より、$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = 3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{\frac{2}{3}}$ における $x = 8$ の点

(a) $y_1 = 3\sqrt[3]{8^2} = 3\sqrt[3]{64} = 3(4) = 12$

(b) $y' = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = 2x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

(c) $m = \frac{2}{\sqrt[3]{8}} = \frac{2}{2} = 1$

(d) $y - 12 = 1(x - 8)$ より、$y = x - 8 + 12$

$y = x + 4$

(4) $y = e^{2x}$ における $x = 0$ の点

(a) $y_1 = e^{2(0)} = e^0 = 1$

(b) $y' = 2e^{2x}$

(c) $m = 2e^{2(0)} = 2e^0 = 2(1) = 2$

(d) $y - 1 = 2(x - 0)$ より、$y = 2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 9$

(2) $y = -\frac{1}{4}x + 1$

(3) $y = x + 4$

(4) $y = 2x + 1$