曲線 $y = x^2$ と $y = a \sin x$ の原点以外の交点の $x$ 座標を $m(a)$ とするとき、$a$ が正の方向から $0$ に近づくとき、$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a}$ を求めよ。ただし $\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ であることを示せ、という条件が与えられています。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2$ と $y = a \sin x$ の原点以外の交点の $x$ 座標を $m(a)$ とするとき、$a$ が正の方向から $0$ に近づくとき、$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a}$ を求めよ。ただし $\lim_{a \to +0} m(a) = 0$ であることを示せ、という条件が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^2$ と $y = a \sin x$ の交点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 = a \sin x$ という方程式を解く必要があります。$x=0$ は交点の $x$ 座標ですが、原点以外の交点を考えたいので、$x \neq 0$ とします。

問題文より、原点以外の交点の $x$ 座標を $m(a)$ とするので、

$m(a)^2 = a \sin m(a)$

が成り立ちます。

この式を $a$ について解くと、

$a = \frac{m(a)^2}{\sin m(a)}$

となります。

次に、$\frac{m(a)}{a}$ の極限を計算します。

$\frac{m(a)}{a} = \frac{m(a)}{\frac{m(a)^2}{\sin m(a)}} = \frac{\sin m(a)}{m(a)}$

したがって、

$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a} = \lim_{a \to +0} \frac{\sin m(a)}{m(a)}$

ここで、$a \to +0$ のとき、$m(a) \to 0$ であることが与えられているので、

$\lim_{a \to +0} \frac{\sin m(a)}{m(a)} = \lim_{m(a) \to 0} \frac{\sin m(a)}{m(a)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることを使うと、

$\lim_{m(a) \to 0} \frac{\sin m(a)}{m(a)} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{a \to +0} \frac{m(a)}{a} = 1$