3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は実数解をいくつ持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は実数解をいくつ持つか。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を考える。この関数の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸との交点の個数に等しい。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3$

$f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 3 > 0$ であり、

$f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 3 < 0$ である。

なぜなら、$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$-4\sqrt{2} + 3 \approx -4(1.414) + 3 = -5.656 + 3 = -2.656 < 0$ である。

$x = -\sqrt{2}$ は極大値を取り、$x = \sqrt{2}$ は極小値を取る。

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

$f(-\sqrt{2}) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) < 0$ であり、$f(x)$ は連続関数であるため、中間値の定理より、

$-\infty < x < -\sqrt{2}$ の範囲で少なくとも1つの解を持つ。

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ の範囲で少なくとも1つの解を持つ。

$\sqrt{2} < x < \infty$ の範囲で少なくとも1つの解を持つ。

したがって、$f(x) = 0$ は少なくとも3つの実数解を持つ。

$f(x)$ は3次関数なので、解は最大で3つである。

よって、$f(x) = 0$ はちょうど3つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

3個