$x$ の方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $x^3 - x^2 - x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

方程式を $f(x) = x^3 - x^2 - x + a = 0$ とおく。$f(x)=0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f'(x)=0$ が実数解を持ち、かつその解において $f(x)=0$ となる必要がある。

まず、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 2x - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 2x - 1 = 0$

$(3x + 1)(x - 1) = 0$

したがって、$x = 1, -\frac{1}{3}$ が $f'(x) = 0$ の解である。

次に、$x = 1$ のとき $f(x) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$f(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + a = 0$

$1 - 1 - 1 + a = 0$

$-1 + a = 0$

$a = 1$

次に、$x = -\frac{1}{3}$ のとき $f(x) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$f\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(-\frac{1}{3}\right) + a = 0$

$-\frac{1}{27} - \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + a = 0$

$-\frac{1}{27} - \frac{3}{27} + \frac{9}{27} + a = 0$

$\frac{5}{27} + a = 0$

$a = -\frac{5}{27}$

$a = 1$ のとき、

$f(x) = x^3 - x^2 - x + 1 = (x-1)(x^2-1) = (x-1)(x-1)(x+1) = (x-1)^2(x+1) = 0$

解は $x = 1, -1$ となり、異なる2つの実数解を持つ。

$a = -\frac{5}{27}$ のとき、

$f(x) = x^3 - x^2 - x - \frac{5}{27} = 0$

$x = -\frac{1}{3}$ は重解なので $f(x)=(x+\frac{1}{3})^2(x-c)$ の形になるはず

$x^3 - x^2 - x - \frac{5}{27} = (x+\frac{1}{3})^2(x-c) = (x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})(x-c) = x^3+(\frac{2}{3}-c)x^2+(\frac{1}{9}-\frac{2}{3}c)x-\frac{1}{9}c$

$\frac{2}{3}-c = -1$ より $c = \frac{5}{3}$

$\frac{1}{9}-\frac{2}{3}c = -1$ より $\frac{1}{9}-\frac{10}{9} = -1$ これは成り立つ

$-\frac{1}{9}c = -\frac{5}{27}$ これは成り立つ

$f(x)=(x+\frac{1}{3})^2(x-\frac{5}{3})$

解は $x = -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}$ となり、異なる2つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

$a = 1, -\frac{5}{27}$