$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $2x^3 - 3x^2 - 12x = a$ と変形する。

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおくと、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3つの交点を持つような $a$ の範囲を求めれば良い。

$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$6x^2 - 6x - 12 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ と $x = -1$ は $f(x)$ の極値を与える。

$f(2) = 2(2^3) - 3(2^2) - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 7 をとり、$x = 2$ で極小値 -20 をとる。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3つの交点を持つためには、$a$ は極大値と極小値の間になければならない。

つまり、$-20 < a < 7$ である。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$