はい、承知いたしました。画像の積分問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像の積分問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

以下の4つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx$

(2) $\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \sqrt{1 - x} dx$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx$

(4) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$

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2. 解き方の手順**

(1) $\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx$

置換積分を行います。$u = 3x - 2$ とすると、$du = 3 dx$ より、$dx = \frac{1}{3} du$。

積分区間は、$x = 0$ のとき $u = -2$、$x = 1$ のとき $u = 1$ になります。

したがって、

$\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx = \int_{-2}^{1} u^5 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{-2}^{1} = \frac{1}{18} \left[ 1^6 - (-2)^6 \right] = \frac{1}{18} (1 - 64) = \frac{-63}{18} = -\frac{7}{2}$

(2) $\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \sqrt{1 - x} dx$

置換積分を行います。$u = 1 - x$ とすると、$x = 1 - u$、$du = -dx$ より、$dx = -du$。

積分区間は、$x = 0$ のとき $u = 1$、$x = 1$ のとき $u = 0$ になります。

したがって、

$\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \sqrt{1 - x} dx = \int_{1}^{0} ((1 - u)^2 - 1) \sqrt{u} (-du) = \int_{0}^{1} (1 - 2u + u^2 - 1) \sqrt{u} du = \int_{0}^{1} (u^2 - 2u) u^{\frac{1}{2}} du = \int_{0}^{1} (u^{\frac{5}{2}} - 2u^{\frac{3}{2}}) du = \left[ \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} u^{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{7} - \frac{4}{5} = \frac{10 - 28}{35} = -\frac{18}{35}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx$

置換積分を行います。$u = 2 + \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ より、$\sin x dx = -du$。

積分区間は、$x = 0$ のとき $u = 2 + 1 = 3$、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = 2 + 0 = 2$ になります。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \int_{3}^{2} \frac{1}{u} (-du) = -\int_{3}^{2} \frac{1}{u} du = \int_{2}^{3} \frac{1}{u} du = \left[ \ln |u| \right]_{2}^{3} = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx$

$x = 3\sin \theta$ と置換すると、$dx = 3\cos \theta d\theta$。

積分区間は、$x = 0$ のとき $\theta = 0$、$x = 3$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ になります。

したがって、

$\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9 - 9\sin^2 \theta} \cdot 3\cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{9(1 - \sin^2 \theta)} \cdot 3\cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\cos \theta \cdot 3\cos \theta d\theta = 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta = 9 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{9}{2} \left[ \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi - (0 + 0) \right] = \frac{9}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{9\pi}{4}$

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3. 最終的な答え**

(1) $\int_{0}^{1} (3x - 2)^5 dx = -\frac{7}{2}$

(2) $\int_{0}^{1} (x^2 - 1) \sqrt{1 - x} dx = -\frac{18}{35}$

(3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2 + \cos x} dx = \ln \frac{3}{2}$

(4) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx = \frac{9\pi}{4}$