問題は2つの部分から構成されています。 (1) 指数分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x) = ae^{-bx}$ における $a$ と $b$ の値を求める問題です。$X$ の平均が25分と与えられています。 (2) 連続一様分布 $U(3,8)$ に従う確率変数 $X$ について、$P(4 \le X \le 7) = c$ となる $c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つの部分から構成されています。

(1) 指数分布に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x) = ae^{-bx}$ における $a$ と $b$ の値を求める問題です。$X$ の平均が25分と与えられています。

(2) 連続一様分布 $U(3,8)$ に従う確率変数 $X$ について、$P(4 \le X \le 7) = c$ となる $c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 指数分布の場合、確率密度関数は $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ と表されます。ここで $\lambda$ はレートパラメータです。平均が25分であることから、$\frac{1}{\lambda} = 25$ となります。したがって、$\lambda = \frac{1}{25} = 0.04$ となります。よって、$f(x) = 0.04 e^{-0.04 x}$ となり、$a = 0.04$、$b = 0.04$ となります。

(2) 連続一様分布 $U(3,8)$ では、$3 \le x \le 8$ のとき確率密度関数は $\frac{1}{8-3} = \frac{1}{5}$ であり、それ以外の範囲では0です。したがって、$P(4 \le X \le 7)$ は、$4$ から $7$ までの確率密度関数の積分で求められます。

$$$$

P(4 \le X \le 7) = \int_4^7 \frac{1}{5} dx = \frac{1}{5} [x]_4^7 = \frac{1}{5} (7 - 4) = \frac{3}{5} = 0.6

$$$$

したがって、$c = 0.6$ となります。

3. 最終的な答え

a = 0.04

b = 0.04

c = 0.6