問題は、$\int \sin^3 x dx$ を計算することです。2つの異なる方法で解法が示されています。

1. 問題の内容

問題は、$\int \sin^3 x dx$ を計算することです。2つの異なる方法で解法が示されています。

2. 解き方の手順

**解法1:**

$\sin 3x$ の公式を利用して、$\sin^3 x$ を書き換えます。

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

より、

$\sin^3 x = \frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x)$

したがって、

$\int \sin^3 x dx = \int \frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x) dx = \frac{1}{4} \int (3\sin x - \sin 3x) dx$

$\int \sin x dx = -\cos x$, $\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3}\cos 3x$

なので、

$\frac{1}{4} \int (3\sin x - \sin 3x) dx = \frac{1}{4}(-3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x) = -\frac{3}{4}\cos x + \frac{1}{12} \cos 3x = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^3 x$.

**解法2:**

$\int \sin^3 x dx = \int \sin^2 x \sin x dx = - \int \sin^2 x d(\cos x)$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ なので、

$\int \sin^3 x dx = - \int (1 - \cos^2 x) d(\cos x) = - \int (1 - u^2) du = - (u - \frac{u^3}{3}) + C$

ここで、$u = \cos x$とおくと、

$\int \sin^3 x dx = - (\cos x - \frac{\cos^3 x}{3}) + C = - \cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^3 x dx = - \cos x + \frac{1}{3} \cos^3 x + C$ （$C$は積分定数）