ある打者の打率（ヒットを打つ確率）は $\frac{1}{3}$ である。この打者が6回打席に立ったときにヒットを打つ回数を $X$ とする。ただし、打席に立ったときの結果はヒットを打つか打たないかの2通りしかないとする。このとき、以下の問いに答えなさい。 (1) $x = 0, 1, ..., 6$ に対して、$X$ の確率関数 $P(x)$ の値を小数第3位まで求めなさい。 (2) $X$ の確率関数のグラフを描きなさい。 (3) $X > 3$ となる確率を小数第2位まで求めなさい。

1. 問題の内容

ある打者の打率（ヒットを打つ確率）は $\frac{1}{3}$ である。この打者が6回打席に立ったときにヒットを打つ回数を $X$ とする。ただし、打席に立ったときの結果はヒットを打つか打たないかの2通りしかないとする。このとき、以下の問いに答えなさい。

(1) $x = 0, 1, ..., 6$ に対して、$X$ の確率関数 $P(x)$ の値を小数第3位まで求めなさい。

(2) $X$ の確率関数のグラフを描きなさい。

(3) $X > 3$ となる確率を小数第2位まで求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $X$ は二項分布に従う確率変数である。試行回数 $n=6$、成功確率 $p=\frac{1}{3}$ であるから、確率関数は次のようになる。

$P(X=x) = {}_n C_x p^x (1-p)^{n-x}$

$P(x) = {}_6 C_x (\frac{1}{3})^x (\frac{2}{3})^{6-x}$

各 $x$ について計算する。

$P(0) = {}_6 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^6 = 1 \times 1 \times \frac{64}{729} \approx 0.088$

$P(1) = {}_6 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^5 = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{32}{243} = \frac{64}{243} \approx 0.264$

$P(2) = {}_6 C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^4 = 15 \times \frac{1}{9} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243} \approx 0.329$

$P(3) = {}_6 C_3 (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^3 = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{8}{27} = \frac{160}{729} \approx 0.219$

$P(4) = {}_6 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^2 = 15 \times \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{243} \approx 0.082$

$P(5) = {}_6 C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^1 = 6 \times \frac{1}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{243} \approx 0.016$

$P(6) = {}_6 C_6 (\frac{1}{3})^6 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{729} \times 1 = \frac{1}{729} \approx 0.001$

(2) グラフは省略します。横軸を $x$、縦軸を $P(x)$ として、上記で計算した値を棒グラフとしてプロットします。

(3) $X > 3$ となる確率は $P(4) + P(5) + P(6)$ である。

$P(X > 3) = P(4) + P(5) + P(6) \approx 0.082 + 0.016 + 0.001 = 0.099$

小数第2位まで求めるので、$0.10$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

$P(0) \approx 0.088$

$P(1) \approx 0.264$

$P(2) \approx 0.329$

$P(3) \approx 0.219$

$P(4) \approx 0.082$

$P(5) \approx 0.016$

$P(6) \approx 0.001$

(2) グラフは省略

(3)

$P(X > 3) \approx 0.10$