不定積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を求める問題です。置換積分を用いて、$t = \tan \frac{x}{2}$ とおき、$\sin x$ を $t$ で表し、$dx$ を $dt$ で表して積分を計算します。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx$ を求める問題です。置換積分を用いて、$t = \tan \frac{x}{2}$ とおき、$\sin x$ を $t$ で表し、$dx$ を $dt$ で表して積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \frac{x}{2}$ とおくと、$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$ および $\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1 + t^2}$ が成り立ちます。よって、$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ となります。

これらを用いて不定積分を書き換えます。

$\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = \int \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{1 + \frac{2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 + t^2 + 2t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{2t}{1 + t^2 + 2t} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$= \int \frac{4t}{(t^2 + 2t + 1)(1 + t^2)} dt$

$= \int \frac{4t}{(t + 1)^2(t^2 + 1)} dt$

部分分数分解を行うことを考えますが、画像の続きを参考にすると以下のようになります。

$\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = 2 \int \left( \frac{1}{t^2 + 1} - \frac{1}{t^2 + 2t + 1} \right) dt$

$= 2 \int \left( \frac{1}{t^2 + 1} - \frac{1}{(t+1)^2} \right) dt$

$= 2 \left( \int \frac{1}{t^2 + 1} dt - \int \frac{1}{(t+1)^2} dt \right)$

$= 2 \left( \arctan t + \frac{1}{t+1} \right) + C$

ここで、$t = \tan \frac{x}{2}$ を代入すると、

$= 2 \left( \arctan \left( \tan \frac{x}{2} \right) + \frac{1}{\tan \frac{x}{2} + 1} \right) + C$

$= 2 \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{1 + \tan \frac{x}{2}} \right) + C$

$= x + \frac{2}{1 + \tan \frac{x}{2}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sin x}{1 + \sin x} dx = x + \frac{2}{1 + \tan \frac{x}{2}} + C$