与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ について、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ について、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算し、規則性を見つける。

$f(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$

$f'(x) = (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2} = \frac{1}{(1-x)^2}$

$f''(x) = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3} = \frac{2}{(1-x)^3}$

$f'''(x) = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 6(1-x)^{-4} = \frac{6}{(1-x)^4}$

$f^{(4)}(x) = 6(-4)(1-x)^{-5}(-1) = 24(1-x)^{-5} = \frac{24}{(1-x)^5}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ と推測できる。これを数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{1!}{(1-x)^{1+1}} = \frac{1}{(1-x)^2}$ であり、成立する。

$n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$ が成立すると仮定する。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{k!}{(1-x)^{k+1}} \right) = k!(-(k+1))(1-x)^{-(k+1)-1}(-1) = k!(k+1)(1-x)^{-(k+2)} = (k+1)!(1-x)^{-(k+2)} = \frac{(k+1)!}{(1-x)^{(k+1)+1}}$

よって、$n=k+1$ のときも成立する。したがって、すべての自然数 $n$ に対して $f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ が成立する。

次に、$f^{(n)}(0)$ を求める。

$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{(1-0)^{n+1}} = \frac{n!}{1} = n!$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$f^{(n)}(0) = n!$