以下の4つの定積分を計算する問題です。 * $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$ * $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$ * $\int_{0}^{2} (3x + 1)^3 dx$ * $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 3)^2} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの定積分を計算する問題です。

* $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$

* $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$

* $\int_{0}^{2} (3x + 1)^3 dx$

* $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 3)^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx$

まず、積分を計算します。

$\int (x + \frac{3}{x^2}) dx = \int (x + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x^2 - 3x^{-1} + C = \frac{x^2}{2} - \frac{3}{x} + C$

次に、積分区間 $[1, 2]$ で評価します。

$\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{3}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^2}{2} - \frac{3}{2}) - (\frac{1^2}{2} - \frac{3}{1}) = (2 - \frac{3}{2}) - (\frac{1}{2} - 3) = \frac{1}{2} - (-\frac{5}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx$

まず、積分を計算します。

$\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x + C$

次に、積分区間 $[0, \frac{\pi}{4}]$ で評価します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = [\sin x + \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1) = \sqrt{2} - 1$

(3) $\int_{0}^{2} (3x + 1)^3 dx$

置換積分を行います。 $u = 3x + 1$ とすると、$du = 3dx$, $dx = \frac{1}{3}du$。

積分区間も変わります。$x=0$ のとき $u = 3(0) + 1 = 1$、$x=2$ のとき $u = 3(2) + 1 = 7$。

よって、積分は $\int_{1}^{7} u^3 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^3 du = \frac{1}{3} [\frac{1}{4}u^4]_{1}^{7} = \frac{1}{12} [u^4]_{1}^{7} = \frac{1}{12} (7^4 - 1^4) = \frac{1}{12} (2401 - 1) = \frac{2400}{12} = 200$

(4) $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 3)^2} dx$

置換積分を行います。 $u = e^x + 3$ とすると、$du = e^x dx$。

積分区間も変わります。$x=0$ のとき $u = e^0 + 3 = 1 + 3 = 4$、$x=1$ のとき $u = e^1 + 3 = e + 3$。

よって、積分は $\int_{4}^{e+3} \frac{1}{u^2} du = \int_{4}^{e+3} u^{-2} du = [-u^{-1}]_{4}^{e+3} = [-\frac{1}{u}]_{4}^{e+3} = -\frac{1}{e+3} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{e+3} = \frac{e+3-4}{4(e+3)} = \frac{e-1}{4(e+3)}$

3. 最終的な答え

* $\int_{1}^{2} (x + \frac{3}{x^2}) dx = 3$

* $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx = \sqrt{2} - 1$

* $\int_{0}^{2} (3x + 1)^3 dx = 200$

* $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{(e^x + 3)^2} dx = \frac{e-1}{4(e+3)}$