不定積分 $\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数の分母を因数分解します。

$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$

次に、被積分関数を部分分数分解します。

$\frac{x+1}{x^2+x-6} = \frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+3)(x-2)$ を掛けると、

$x+1 = A(x-2) + B(x+3)$

$x=2$ のとき、

$2+1 = A(2-2) + B(2+3)$

$3 = 5B$

$B = \frac{3}{5}$

$x=-3$ のとき、

$-3+1 = A(-3-2) + B(-3+3)$

$-2 = -5A$

$A = \frac{2}{5}$

したがって、

$\frac{x+1}{x^2+x-6} = \frac{2/5}{x+3} + \frac{3/5}{x-2}$

不定積分は、

$\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx = \int \left( \frac{2/5}{x+3} + \frac{3/5}{x-2} \right) dx$

$= \frac{2}{5} \int \frac{1}{x+3} dx + \frac{3}{5} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= \frac{2}{5} \ln|x+3| + \frac{3}{5} \ln|x-2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} \ln|x+3| + \frac{3}{5} \ln|x-2| + C$