大人4人と子ども4人が横一列に並ぶとき、以下の並び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 大人4人が続いて並ぶ。 (2) 大人と子どもが交互に並ぶ。

離散数学順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/7

1. 問題の内容

大人4人と子ども4人が横一列に並ぶとき、以下の並び方はそれぞれ何通りあるか。
(1) 大人4人が続いて並ぶ。
(2) 大人と子どもが交互に並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 大人4人が続いて並ぶ場合
まず、大人4人をひとまとめにして、これを1つの単位と考えます。すると、この単位と子ども4人の合計5つを並べることになります。
5つのものを並べる順列は 5!5! 通りです。
大人4人の中での並び方は 4!4! 通りです。
したがって、大人4人が続いて並ぶ並び方は、5!×4!5! \times 4! 通りです。
5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
5!×4!=120×24=28805! \times 4! = 120 \times 24 = 2880
(2) 大人と子どもが交互に並ぶ場合
大人と子どもが交互に並ぶためには、最初に大人が並ぶ場合と、最初に子どもが並ぶ場合の2パターンを考える必要があります。
しかし、大人と子どもの人数が同じであるため、どちらから始めても成立します。
大人が先に並ぶ場合、並び方は「大人、子ども、大人、子ども、大人、子ども、大人、子ども」となります。
大人の並び方は 4!4! 通り、子どもの並び方も 4!4! 通りです。
したがって、大人が先に並ぶ場合の並び方は 4!×4!4! \times 4! 通りです。
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
4!×4!=24×24=5764! \times 4! = 24 \times 24 = 576

3. 最終的な答え

(1) 大人4人が続いて並ぶ並び方は 2880 通り。
(2) 大人と子どもが交互に並ぶ並び方は 576 通り。

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