大人4人と子ども4人が横一列に並ぶとき、以下の並び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 大人4人が続いて並ぶ。 (2) 大人と子どもが交互に並ぶ。

1. 問題の内容

大人4人と子ども4人が横一列に並ぶとき、以下の並び方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 大人4人が続いて並ぶ。

(2) 大人と子どもが交互に並ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 大人4人が続いて並ぶ場合

まず、大人4人をひとまとめにして、これを1つの単位と考えます。すると、この単位と子ども4人の合計5つを並べることになります。

5つのものを並べる順列は $5!$ 通りです。

大人4人の中での並び方は $4!$ 通りです。

したがって、大人4人が続いて並ぶ並び方は、$5! \times 4!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$

(2) 大人と子どもが交互に並ぶ場合

大人と子どもが交互に並ぶためには、最初に大人が並ぶ場合と、最初に子どもが並ぶ場合の2パターンを考える必要があります。

しかし、大人と子どもの人数が同じであるため、どちらから始めても成立します。

大人が先に並ぶ場合、並び方は「大人、子ども、大人、子ども、大人、子ども、大人、子ども」となります。

大人の並び方は $4!$ 通り、子どもの並び方も $4!$ 通りです。

したがって、大人が先に並ぶ場合の並び方は $4! \times 4!$ 通りです。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

$4! \times 4! = 24 \times 24 = 576$

3. 最終的な答え

(1) 大人4人が続いて並ぶ並び方は 2880 通り。

(2) 大人と子どもが交互に並ぶ並び方は 576 通り。