次の2つの極限が与えられています。 (1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$ これらの極限が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を決定します。

1. 問題の内容

次の2つの極限が与えられています。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$

これらの極限が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を決定します。

2. 解き方の手順

(1) の場合：

極限が存在するためには、$x \to 1$ のとき、分子 $x^2 + ax + b$ が $0$ に収束する必要があります。

したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入すると：

$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 + ax -a -1}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1 + a(x-1)}{x-1}$

$= \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1) + a(x-1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1 + a) = 1+1+a = 2+a$

これが $3$ に等しいので、$2+a = 3$ 、したがって $a=1$。

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$。

(2) の場合：

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}) = 5$

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x) = 5 - \lim_{x\to \infty} x = 5 - \infty$　となり、このままでは計算できません。

$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

$= \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

分子分母を $x$ で割ると：

$\frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{b}{x} \to 0$ と $\frac{4+a}{x} \to 0$ と $\frac{b}{x^2} \to 0$ なので：

$\lim_{x\to \infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{4+a}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4+a}{2}$

$\frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

元の式に代入すると：

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + 6x + b}) = 5$

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 10x + b}) = 5$

したがって、$a = 6$

$\frac{(4+a)x+b}{x(\sqrt{1+(4+a)/x+b/x^2}+1)} \to \frac{4+a}{2} = 5$

$a=6$

$b$ は何でも良い。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=-2$

(2) $a=6$, $b$ は任意の値