与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおくとき、以下の問題を解く。 (i) $g_T(t)$ (特性多項式)を求める。 (ii) $T$ の固有値を求める。 (iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。 今回は、$A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ の場合の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおくとき、以下の問題を解く。

(i) $g_T(t)$ (特性多項式)を求める。

(ii) $T$ の固有値を求める。

(iii) $T$ の各固有値 $\lambda$ について固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

今回は、$A = \begin{bmatrix} 7 & 12 & 0 \\ -2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ の場合の解を求める。

2. 解き方の手順

(i) 特性多項式 $g_T(t)$ を求める。

$g_T(t) = \det(tI - A)$ を計算する。ここで、$I$ は単位行列である。

$tI - A = \begin{bmatrix} t-7 & -12 & 0 \\ 2 & t+3 & 0 \\ -2 & -4 & t-1 \end{bmatrix}$

$\det(tI - A) = (t-7)((t+3)(t-1) - 0) - (-12)(2(t-1) - 0) + 0$

$= (t-7)(t^2+2t-3) + 24(t-1)$

$= t^3 + 2t^2 - 3t - 7t^2 - 14t + 21 + 24t - 24$

$= t^3 - 5t^2 + 7t - 3$

$= (t-1)(t^2 - 4t + 3)$

$= (t-1)(t-1)(t-3)$

$= (t-1)^2(t-3)$

(ii) 固有値を求める。

特性多項式 $g_T(t) = 0$ の解が固有値である。

$(t-1)^2(t-3) = 0$ より、固有値は $\lambda_1 = 1$ (重解), $\lambda_2 = 3$

(iii) 各固有値に対する固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める。

固有空間は、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ の集合である。

$\lambda_1 = 1$ のとき：

$A - I = \begin{bmatrix} 6 & 12 & 0 \\ -2 & -4 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}$

この行列で表される連立一次方程式を解く。

$6x + 12y = 0$

$-2x - 4y = 0$

$2x + 4y = 0$

$x = -2y$

$z$ は任意

固有ベクトルは $v = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ の線形結合で表される。

したがって、固有空間 $W(1; T) = span\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

$\lambda_2 = 3$ のとき：

$A - 3I = \begin{bmatrix} 4 & 12 & 0 \\ -2 & -6 & 0 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}$

この行列で表される連立一次方程式を解く。

$4x + 12y = 0$

$-2x - 6y = 0$

$2x + 4y - 2z = 0$

$x = -3y$

$2(-3y) + 4y - 2z = 0$

$-6y + 4y - 2z = 0$

$-2y = 2z$

$z = -y$

固有ベクトルは $v = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ の定数倍で表される。

したがって、固有空間 $W(3; T) = span\{\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\}$

3. 最終的な答え

(i) 特性多項式: $g_T(t) = (t-1)^2(t-3)$

(ii) 固有値: $\lambda_1 = 1$ (重解), $\lambda_2 = 3$

(iii) 固有空間:

$W(1; T) = span\{\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

$W(3; T) = span\{\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\}$