与えられた極限の式を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式を満たすように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x) = 5$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくため、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1+a+b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x\to 1} \frac{x^2+ax-a-1}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{x^2-1 + a(x-1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1) + a(x-1)}{x-1} = \lim_{x\to 1} (x+1+a) = 1+1+a = 2+a = 3$

$a = 1$

$b = -a-1 = -1-1 = -2$

(2)

$\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2+(4+a)x+b}-x) = 5$

$\lim_{x\to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+(4+a)x+b}-x)(\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x)}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{x^2+(4+a)x+b-x^2}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2(1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2})}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{(4+a)x+b}{x\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}}+x} = \lim_{x\to \infty} \frac{(4+a)+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}}+1} = \frac{4+a}{\sqrt{1}+1} = \frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

$b$ はこの極限に影響を与えないので、$b$ は任意の値を取ることができます。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = -2$

(2) $a = 6$, $b$ は任意の実数