$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x - a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ とおき、$f(x) = a$ と変形します。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるような $a$ の範囲を求めることが目標となります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 2, -1$ です。

次に、増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大値 | 減少 | 極小値 | 増加 |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20$

$y = f(x)$ のグラフを描くと、極大値が7、極小値が-20であることがわかります。

したがって、$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフが異なる3点で交わるためには、 $-20 < a < 7$ である必要があります。

3. 最終的な答え

$-20 < a < 7$