4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような、$k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 3x^4 + 4x^3$ とおくと、与えられた方程式は $f(x) = k$ と書き換えられます。

$f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の交点の個数が2個となるような、$k$ の範囲を求めればよいことになります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を行います。

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1$ または $x = 0$ のときです。

増減表を書くと、以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | + |

| f(x) | ↓ | -1 | ↑ | 0 | ↑ |

$f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 = 3 - 4 = -1$

$f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 = 0$

グラフを描くと、$x=-1$ で極小値 $-1$ をとり、$x=0$ で $f(x)=0$ となることがわかります。

$y=k$ と $y=f(x)$ のグラフが2点で交わるためには、次のいずれかの場合である必要があります。

* $k = -1$ (このとき、x=-1が重解となり、x=0が一つの解となり、異なる実数解が2つ)

* $k = 0$ (このとき、x=0が重解となり、x=-4/3が一つの解となり、異なる実数解が2つ)

* $-1 < k < 0$ (異なる実数解が4つになってしまうため不適)

したがって、$k = -1$ または $k = 0$となります。

3. 最終的な答え

$k = -1, 0$