4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 + 4x^3 - k = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式を変形します。

$3x^4 + 4x^3 = k$

ここで、$f(x) = 3x^4 + 4x^3$ とおくと、この関数のグラフと $y = k$ のグラフが異なる2つの交点を持つような $k$ の範囲を求めればよいことになります。

$f(x)$ の増減を調べるために、微分を計算します。

$f'(x) = 12x^3 + 12x^2 = 12x^2(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -1$ のときです。

増減表を書くと、

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| ---- | ----- | --- | --- | --- | --- |

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | | 増加 |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 = 3 - 4 = -1$

$x = 0$ のとき、$f(0) = 3(0)^4 + 4(0)^3 = 0$

グラフを描くと、$x=-1$ で極小値 $-1$ をとり、$x=0$で停留点を持つことがわかります。したがって、$y=k$ の直線と $y=f(x)$ のグラフが異なる2つの共有点を持つのは、$k = 0$または$k > -1$ のときです。

$k=0$のとき、$3x^4+4x^3=0$より、$x^3(3x+4)=0$となり、$x=0$と$x=-\frac{4}{3}$となり、異なる2つの実数解を持ちます。

$k>-1$のとき、$3x^4+4x^3-k=0$は異なる2つの実数解を持つとは限りません。例えば、$k=1$とすると、$3x^4+4x^3-1=0$となりますが、異なる2つの実数解を持つとは限りません。

したがって、$3x^4+4x^3=k$が異なる2つの実数解をもつのは、$k=0$または$k>-1$のときです。

しかし、選択肢に $k = 0$となるようなものが無いため、$f(x) = k$ のグラフを描くと，$k = -1$のとき、解は$x = -1$です。

もしも、$k > -1$ならば、グラフは2つの異なる交点を持つ可能性があるため、$k > -1$が答えとなります。

3. 最終的な答え

k > -1