次の3つの二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求めます。 (1) $y = x^2 - 2x - 3, \quad -2 \le x \le 5$ (2) $y = 2x^2 + 4x + 3, \quad 0 < x \le 1$ (3) $y = -2x^2 + 14x, \quad 0 < x < 7$

1. 問題の内容

次の3つの二次関数の最大値と最小値を、指定された範囲内で求めます。

(1) $y = x^2 - 2x - 3, \quad -2 \le x \le 5$

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3, \quad 0 < x \le 1$

(3) $y = -2x^2 + 14x, \quad 0 < x < 7$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

まず、平方完成します。

$y = (x-1)^2 - 4$

この関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は$x=1$です。

定義域 $-2 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求めます。

$x=1$のとき、$y = -4$ (最小値)

$x=-2$のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

$x=5$のとき、$y = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12$

よって、$x=5$のとき、$y=12$ (最大値)

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3$

平方完成します。

$y = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$

この関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は$x=-1$です。

定義域 $0 < x \le 1$ における最大値と最小値を求めます。

$x=0$のとき、$y = 2(0)^2 + 4(0) + 3 = 3$

$x=1$のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) + 3 = 2 + 4 + 3 = 9$

$x=0$は定義域に含まれないため、最小値は存在しません。ただし、0に近い値を取る時に3に近い値をとるため3が下限となります。

最大値は $x=1$のとき、$y=9$

(3) $y = -2x^2 + 14x$

平方完成します。

$y = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2(\frac{49}{4}) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

この関数のグラフは上に凸の放物線であり、軸は$x=\frac{7}{2}$です。

定義域 $0 < x < 7$ における最大値と最小値を求めます。

$x=\frac{7}{2}$のとき、$y = \frac{49}{2} = 24.5$ (最大値)

$x=0$と$x=7$は定義域に含まれないため、最小値は存在しません。ただし、0と7に近い値を取る時に0に近い値をとるため0が下限となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 12 ($x=5$のとき), 最小値: -4 ($x=1$のとき)

(2) 最大値: 9 ($x=1$のとき), 最小値: なし（下限は3)

(3) 最大値: $\frac{49}{2}$ ($x=\frac{7}{2}$のとき), 最小値: なし（下限は0)