与えられた二次関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($-2 \le x \le 5$) (2) $y = 2x^2 + 4x + 3$ ($0 < x \le 1$) (3) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 < x < 7$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($-2 \le x \le 5$)

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3$ ($0 < x \le 1$)

(3) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 < x < 7$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 - 2x - 3$ ($-2 \le x \le 5$) の場合

まず、平方完成を行います。

$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$

これは、頂点が $(1, -4)$ の下に凸の放物線です。

定義域は $-2 \le x \le 5$ なので、

$x = 1$ のとき、最小値は $-4$ をとります。

$x = 5$ のとき、$y = (5-1)^2 - 4 = 16 - 4 = 12$

$x = -2$ のとき、$y = (-2-1)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

したがって、最大値は $x = 5$ のとき $12$ をとります。

(2) $y = 2x^2 + 4x + 3$ ($0 < x \le 1$) の場合

平方完成を行います。

$y = 2(x^2 + 2x) + 3 = 2(x+1)^2 - 2 + 3 = 2(x+1)^2 + 1$

これは、頂点が $(-1, 1)$ の下に凸の放物線です。

定義域は $0 < x \le 1$ なので、

$x = 1$ のとき、$y = 2(1+1)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9$

$x \to 0$ のとき、$y \to 2(0+1)^2 + 1 = 3$

したがって、$x = 1$ のとき、最大値 $9$ をとります。

最小値はありません。

(3) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 < x < 7$) の場合

平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 7x) = -2(x - \frac{7}{2})^2 + 2 (\frac{7}{2})^2 = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

これは、頂点が $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$ の上に凸の放物線です。

定義域は $0 < x < 7$ なので、

$x = \frac{7}{2}$ のとき、最大値は $\frac{49}{2}$ をとります。

$x \to 0$ のとき、$y \to 0$

$x \to 7$ のとき、$y \to 0$

したがって、最大値は $x = \frac{7}{2}$ のとき $\frac{49}{2}$ をとります。

最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 12 (x=5のとき), 最小値: -4 (x=1のとき)

(2) 最大値: 9 (x=1のとき), 最小値: なし

(3) 最大値: 49/2 (x=7/2のとき), 最小値: なし