関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(f(x))$ を計算します。

$$f(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}$$

次に、分母と分子に $(x+a)$ を掛けて分数を解消します。

$$f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2}$$

問題の条件より、$f(f(x)) = x$ であるから、

$$\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+2+a^2} = x$$

$$11x+6+2a = x((3+a)x+2+a^2) = (3+a)x^2 + (2+a^2)x$$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数は $0$ でなければなりません。したがって、

$$3+a = 0$$

$$a = -3$$

このとき、

$$11x+6+2a = 11x+6+2(-3) = 11x$$

$$(2+a^2)x = (2+(-3)^2)x = (2+9)x = 11x$$

となり、

$$11x = 11x$$

が成り立ちます。

また、$x$ の定義域を考慮する必要があります。$f(x)$ において、$x \neq -a$ であり、$f(f(x))$ において、$f(x) \neq -a$ である必要があります。つまり、

$$\frac{3x+2}{x+a} \neq -a$$

$$3x+2 \neq -a(x+a)$$

$$3x+2 \neq -ax-a^2$$

$$(3+a)x \neq -a^2 - 2$$

$a = -3$ のとき、$0 \neq -9-2=-11$ となり、これは常に成り立ちます。

したがって、$a = -3$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -3$