与えられた極限が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

2. 解き方の手順

(1) について

$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。

したがって、$1 + a + b = 0$ より $b = -a - 1$

このとき、$\frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + a + 1)}{x - 1} = x + a + 1$

したがって、

$\lim_{x \to 1} (x + a + 1) = 1 + a + 1 = a + 2 = 3$

これより $a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

(2) について

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = 5$

$\frac{4+a}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4+a}{2} = 5$

$4 + a = 10$

$a = 6$

$b$ についての情報は与えられていません。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = -2$

(2) $a = 6, b$ は任意の実数