$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$ が与えられています。この極限が5になるように、$a$と$b$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$ が与えられています。この極限が5になるように、$a$と$b$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、根号の中を整理します。

$x^2 + 4x + ax + b = x^2 + (4+a)x + b$

したがって、与えられた極限は

$\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2 + (4+a)x + b} = 5$

となります。

$x$が無限大に近づくとき、$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}$ は $x$ と同じオーダーで増加するはずですが、極限が5という有限の値になるためには、$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}$から$x$を引いた形にする必要があります。

つまり、 $\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x$の形にします。

そして、極限を求めるために、有理化を行います。

$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

$= \frac{(x^2 + (4+a)x + b) - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

分子と分母を $x$ で割ります。

$\frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{b}{x} \to 0$, $\frac{4+a}{x} \to 0$, $\frac{b}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{4+a}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4+a}{2}$

これが5に等しいので、

$\frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

このとき、

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+6x+b}-x)=5$

$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+10x+b}-x)=5$

$\frac{10}{2} = 5$となり、$b$の値は任意となります。よって、aの値のみが定まります。

問題文が少しおかしい気がしますが、もし $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x) = 5$ であれば、$a=6$で、$b$は任意となります。

しかし、与えられた問題は$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$なので、

$x^2$の項が残ってしまうと、$x\to\infty$で発散してしまいます。

極限が存在するということは、$x^2+4x+ax+b = (cx+d)^2$となる必要があります。

そうすると、$x^2 + (4+a)x + b = c^2x^2+2cdx+d^2$なので、

$c^2=1$より、$c=1$

$2d=4+a$

$d^2=b$

このとき、極限は

$\lim_{x\to\infty} \sqrt{(x+d)^2} = \lim_{x\to\infty} (x+d) = 5$となり、これはありえません。

問題文に何か誤りがあると思われます。

仮に$\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = 5$であれば、上記のように$a=6$で、$b$は任意となります。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性がありますが、もし $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = 5$ であれば、$a = 6$, $b$ は任意。