$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+4x}$ の部分を考えます。これは $x$ が非常に大きいとき、$x$ に近い値をとります。そこで、$x$ でくくりだしてみます。

$\sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})} = x\sqrt{1+\frac{4}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ であるから、$\sqrt{1+\frac{4}{x}}$ は 1 に近づきます。しかし、そのままでは計算が難しいので、$\sqrt{1+t}$ の $t=0$ におけるテイラー展開（もしくは二項定理）を利用します。

$\sqrt{1+t} \approx 1 + \frac{1}{2}t$

この近似式を使うと、

$\sqrt{1+\frac{4}{x}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

したがって、

$\sqrt{x^2+4x} \approx x(1+\frac{2}{x}) = x + 2$

与えられた極限の式に代入すると、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = \lim_{x \to \infty} (x+2 + ax + b) = \lim_{x \to \infty} ((1+a)x + (2+b)) = 5$

この極限が存在し、かつ有限の値を持つためには、$x$ の係数が 0 でなければなりません。つまり、$1+a=0$ である必要があります。

よって、$a = -1$

このとき、極限の式は以下のようになります。

$\lim_{x \to \infty} ((1+a)x + (2+b)) = \lim_{x \to \infty} (0 \cdot x + (2+b)) = 2+b = 5$

したがって、$2+b=5$ となり、$b=3$ が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 3$