$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$を満たす定数$a, b$の値を求めよ．ただし、二項定理は使用しない。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$を満たす定数$a, b$の値を求めよ．ただし、二項定理は使用しない。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}) = 5$

$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}$を$x$で割ることを考える。

$\lim_{x \to \infty} x \sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} = 5$

ここで、$x \to \infty$のとき、$x$も$\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}}$も$\infty$に発散するので、この形では極限値が求まらない。

$\sqrt{x^2+(4+a)x+b}-x$を考える。

$\sqrt{x^2+(4+a)x+b} - x = \frac{(\sqrt{x^2+(4+a)x+b} - x)(\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x)}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x}$

$= \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x}$

$= \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x}$

$= \frac{(4+a)x + b}{x\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}} + x}$

$= \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}} + 1}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{4+a}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4+a}{2}$

したがって、

$\frac{4+a}{2} = 5$

$4 + a = 10$

$a = 6$

また、問題文より$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$であるが、これは$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2+10x+b}=5$を意味し、左辺は$x \to \infty$で発散するので、この問題は誤りである。

正しくは、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$であると考えられる。

このとき、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x) = 5$より、 $a=6$である。$b$は任意の実数である。

3. 最終的な答え

もし問題が$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$ならば、このような$a, b$は存在しない。

問題が$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$ならば、$a = 6$であり、$b$は任意の実数である。