問題は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3n$ と初期条件 $a_1 = 3$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 3n$ と初期条件 $a_1 = 3$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式を $a_{n+1} + c(n+1) + d = 3(a_n + cn + d)$ の形に変形することを考えます。

$a_{n+1} + c(n+1) + d = a_{n+1} + cn + c + d$

$3(a_n + cn + d) = 3a_n + 3cn + 3d$

これらを与えられた漸化式に代入すると、

$3a_n + 3n = a_{n+1} = 3a_n + 3cn + 3d - cn - c - d$

$3n = 3cn + 3d - cn - c - d$

$3n = (3c - c)n + (3d - c - d)$

$3n = 2cn + (2d - c)$

これが全ての $n$ について成り立つためには、

$2c = 3$

$2d - c = 0$

これらの式を解くと、

$c = \frac{3}{2}$

$2d = c = \frac{3}{2}$

$d = \frac{3}{4}$

したがって、$a_{n+1} + \frac{3}{2}(n+1) + \frac{3}{4} = 3(a_n + \frac{3}{2}n + \frac{3}{4})$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n + \frac{3}{2}n + \frac{3}{4}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、$b_n$ は公比が3の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は、$b_1 = a_1 + \frac{3}{2}(1) + \frac{3}{4} = 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{12+6+3}{4} = \frac{21}{4}$

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = \frac{21}{4} \cdot 3^{n-1}$

$a_n = b_n - \frac{3}{2}n - \frac{3}{4} = \frac{21}{4} \cdot 3^{n-1} - \frac{3}{2}n - \frac{3}{4}$

$a_n = \frac{7}{4} \cdot 3^n - \frac{3}{2}n - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{7}{4} \cdot 3^n - \frac{3}{2}n - \frac{3}{4}$