$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$ を満たす $a$ と $b$ を求める問題です。ただし、二項定理は使わないように指示されています。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$ を満たす $a$ と $b$ を求める問題です。ただし、二項定理は使わないように指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+4x+ax+b}$ を $x$ の式で近似することを考えます。$x$ が大きいとき、$\sqrt{x^2+4x+ax+b}$ は $\sqrt{x^2}$ に近い値になることが予想できます。

そこで、$\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x$ の極限を考えます。

$\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x = \frac{(\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x)(\sqrt{x^2+4x+ax+b} + x)}{\sqrt{x^2+4x+ax+b} + x}$

$= \frac{(x^2+4x+ax+b) - x^2}{\sqrt{x^2+4x+ax+b} + x} = \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x}$

この式の分子と分母を $x$ で割ると、

$\frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{b}{x} \to 0$ と $\frac{4+a}{x} \to 0$ と $\frac{b}{x^2} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = \frac{4+a}{\sqrt{1}+1} = \frac{4+a}{2}$

与えられた条件から、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) = 5$ なので、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x + x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) + \lim_{x \to \infty} x = 5$

$\frac{4+a}{2} + x = 5$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}) - x = 5 - \lim_{x \to \infty} x$

$\lim_{x \to \infty} x$ は発散するので、このままでは $a$ を求めることは出来ません。

そこで、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - (x+c)) = 0$ となる $c$ を考えることで、極限が有限の値になるようにします。

$\sqrt{x^2+4x+ax+b} = x+5$ となるようにするには、

$x^2+(4+a)x+b = (x+5)^2 = x^2+10x+25$

となる必要があります。

したがって、$4+a = 10$ かつ $b = 25$ である必要があります。

$a = 10-4 = 6$

したがって、$a = 6$ かつ $b = 25$ が答えとなります。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+10x+25}) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{(x+5)^2}) = \lim_{x \to \infty} (x+5) = \infty$ となって 5 に収束しません。

$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}$ は $x+\frac{4+a}{2}$ に近い値になるので、$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+(4+a)x+b} - x)$ は $\frac{4+a}{2}$ になります。そこで、極限値が $5$ であることから、$4+a = 10$ つまり $a = 6$ となります。

このとき、$\sqrt{x^2 + 10x + b}$ となります。ここで、$b$ は $x \to \infty$ の極限には影響を与えないので、特に条件はありません。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+10x+b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{10x+b}{\sqrt{x^2+10x+b}+x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{10}{x}+\frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{10}{2} = 5$

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b$ は任意の実数