三角形ABCにおいて、AB = 3, AC : BC = 3 : 2, 角ABC = 120°であるとき、辺ACの長さを求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 3, AC : BC = 3 : 2, 角ABC = 120°であるとき、辺ACの長さを求めます。

2. 解き方の手順

ACの長さを $x$ とします。AC : BC = 3 : 2 より、BC = $\frac{2}{3}x$ となります。

三角形ABCにおいて、余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

この式に既知の値を代入します。

$x^2 = 3^2 + (\frac{2}{3}x)^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{2}{3}x \cdot \cos{120^\circ}$

$\cos{120^\circ} = -\frac{1}{2}$ なので、

$x^2 = 9 + \frac{4}{9}x^2 - 4x \cdot (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 9 + \frac{4}{9}x^2 + 2x$

両辺に9を掛けて整理します。

$9x^2 = 81 + 4x^2 + 18x$

$5x^2 - 18x - 81 = 0$

この2次方程式を解きます。

$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-81)}}{2 \cdot 5}$

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 1620}}{10}$

$x = \frac{18 \pm \sqrt{1944}}{10}$

$x = \frac{18 \pm 18\sqrt{6}}{10}$

$x = \frac{9 \pm 9\sqrt{6}}{5}$

$x$ は長さなので正の値をとります。$x = \frac{9 + 9\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{9 + 9\sqrt{6}}{5}$

または、$AC = \frac{9(1+\sqrt{6})}{5}$