$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = 5$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、二項定理は使わないという制約があります。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = 5$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。ただし、二項定理は使わないという制約があります。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+4x}$ の部分を考えます。

$x$ が非常に大きいとき、$\sqrt{x^2+4x}$ は $x$ に近い値になります。$\sqrt{x^2+4x}$ を $x$ で近似することを考えます。

与えられた極限が有限の値を持つためには、$x \to \infty$ で $\sqrt{x^2 + 4x} + ax$ が定数に収束する必要があります。

$\sqrt{x^2 + 4x}$ を $x$ でくくり出すと、$\sqrt{x^2 + 4x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$ となります。$x \to \infty$ では、$x > 0$ なので、$|x| = x$ となります。よって、$\sqrt{x^2 + 4x} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$ となります。

ここで、$\sqrt{1+t}$ を $t$ が小さいとき $1 + \frac{1}{2}t$ で近似することを考えます。($x \to \infty$ で $\frac{4}{x}$ は小さくなります)

$\sqrt{1 + \frac{4}{x}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x} = 1 + \frac{2}{x}$ となります。

したがって、$\sqrt{x^2 + 4x} \approx x(1 + \frac{2}{x}) = x + 2$ となります。

元の式に代入すると、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = \lim_{x \to \infty} (x + 2 + ax + b) = \lim_{x \to \infty} ((1+a)x + (2+b)) = 5$ となります。

この極限が有限の値を持つためには、$1+a = 0$ でなければなりません。したがって、$a = -1$ となります。

このとき、$\lim_{x \to \infty} ((1+a)x + (2+b)) = 2+b = 5$ となり、$b = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 3$