座標平面上に円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -2x + a$ がある。円と直線が接するときの $a$ の値を、太郎さんと花子さんがそれぞれ異なる方法で求める問題である。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = -2x + a$ がある。円と直線が接するときの $a$ の値を、太郎さんと花子さんがそれぞれ異なる方法で求める問題である。

2. 解き方の手順

(i) 太郎さんの求め方

円 $C$ の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $\sqrt{4} = 2$ である。

直線 $l: y = -2x + a$ すなわち $2x + y - a = 0$ と円 $C$ が接するということは、円の中心から直線までの距離が半径に等しいということである。

点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - a|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = 2$$

$$\frac{|-a|}{\sqrt{5}} = 2$$

$$|a| = 2\sqrt{5}$$

したがって、$a = \pm 2\sqrt{5}$ である。

(ii) 花子さんの求め方

直線 $y = -2x + a$ を円 $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$$x^2 + (-2x + a)^2 = 4$$

$$x^2 + 4x^2 - 4ax + a^2 = 4$$

$$5x^2 - 4ax + a^2 - 4 = 0$$

この $x$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (a^2 - 4) = 16a^2 - 20a^2 + 80 = -4a^2 + 80$$

円と直線が接するとき、$D = 0$ であるから、

$$-4a^2 + 80 = 0$$

$$4a^2 = 80$$

$$a^2 = 20$$

$$a = \pm \sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

(i) ア：2, イ：$\pm 2\sqrt{5}$

(ii) イ：$\pm 2\sqrt{5}$