袋の中に白玉が3個、赤玉が6個入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、元に戻すという操作を6回繰り返す。以下の確率を求めよ。 (1) 白玉がちょうど2回出る確率 (2) 白玉が5回以上出る確率 (3) 6回目に2度目の白玉が出る確率

1. 問題の内容

袋の中に白玉が3個、赤玉が6個入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を確認した後、元に戻すという操作を6回繰り返す。以下の確率を求めよ。

(1) 白玉がちょうど2回出る確率

(2) 白玉が5回以上出る確率

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉がちょうど2回出る確率

1回の試行で白玉が出る確率は $3/(3+6) = 3/9 = 1/3$。

これは独立な試行なので、二項分布に従う。

6回の試行で白玉がちょうど2回出る確率は、二項分布の確率公式を用いて計算できる。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=6$, $k=2$, $p=1/3$。

$P(X=2) = {}_6 C_2 \cdot (1/3)^2 \cdot (2/3)^4$

${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$

$P(X=2) = 15 \cdot (1/9) \cdot (16/81) = 15 \cdot 16 / (9 \cdot 81) = 240/729 = 80/243$

(2) 白玉が5回以上出る確率

白玉が5回出る確率と6回出る確率をそれぞれ計算し、それらを足し合わせる。

白玉が5回出る確率は、$P(X=5) = {}_6 C_5 \cdot (1/3)^5 \cdot (2/3)^1$

${}_6 C_5 = 6$

$P(X=5) = 6 \cdot (1/243) \cdot (2/3) = 12/729 = 4/243$

白玉が6回出る確率は、$P(X=6) = {}_6 C_6 \cdot (1/3)^6 \cdot (2/3)^0$

${}_6 C_6 = 1$

$P(X=6) = 1 \cdot (1/729) \cdot 1 = 1/729$

白玉が5回以上出る確率は、$P(X \geq 5) = P(X=5) + P(X=6) = 4/243 + 1/729 = (12 + 1)/729 = 13/729$

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率

5回目までに白玉が1回出て、6回目に白玉が出る確率を求める。

5回中1回白玉が出る確率は、$P(X=1) = {}_5 C_1 \cdot (1/3)^1 \cdot (2/3)^4 = 5 \cdot (1/3) \cdot (16/81) = 80/243$

6回目に白玉が出る確率は $1/3$。

求める確率は、$P = (80/243) \cdot (1/3) = 80/729$

3. 最終的な答え

(1) 白玉がちょうど2回出る確率: $\frac{80}{243}$

(2) 白玉が5回以上出る確率: $\frac{13}{729}$

(3) 6回目に2度目の白玉が出る確率: $\frac{80}{729}$