座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2x + ay = 0$ (aは定数) があり、Cは点 $P(3,3)$ を通る。点PにおけるCの接線を $l$ とし、$l$ と y軸の交点をQとする。 (1) aの値を求めよ。また、Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2) $l$ の方程式を求めよ。また、点RがC上 (点Pを除く) を動くとき、$\triangle PQR$ の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2x + ay = 0$ (aは定数) があり、Cは点 $P(3,3)$ を通る。点PにおけるCの接線を $l$ とし、$l$ と y軸の交点をQとする。

(1) aの値を求めよ。また、Cの中心の座標と半径を求めよ。

(2) $l$ の方程式を求めよ。また、点RがC上 (点Pを除く) を動くとき、$\triangle PQR$ の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの式に点P(3,3)の座標を代入してaの値を求める。

$3^2 + 3^2 - 2(3) + a(3) = 0$

$9 + 9 - 6 + 3a = 0$

$12 + 3a = 0$

$3a = -12$

$a = -4$

円Cの式は $x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ となる。

円Cの式を平方完成すると、

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$

したがって、円Cの中心の座標は (1,2) であり、半径は $\sqrt{5}$ である。

(2) 点P(3,3)における円Cの接線lの方程式を求める。

円Cの方程式は $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ である。

円の中心(1,2)と点P(3,3)を通る直線の傾きは

$\frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2}$ である。

接線lは、中心と点Pを通る直線に垂直なので、接線lの傾きは -2 である。

接線lの方程式は $y - 3 = -2(x - 3)$ となる。

$y - 3 = -2x + 6$

$y = -2x + 9$

接線lとy軸の交点Qは、x=0のとき $y = -2(0) + 9 = 9$ となるので、Q(0,9)である。

$\triangle PQR$ の面積の最大値を求める。

点Rは円C上の点であり、点Pを除く。

$\triangle PQR$ の底辺をPQとすると、高さは点Rから直線PQまでの距離となる。

$\triangle PQR$ の面積が最大になるのは、点Rから直線PQまでの距離が最大になるときである。

点Rから直線PQまでの距離が最大になるのは、円の中心から直線PQに下ろした垂線と円Cの交点のうち、直線PQから遠い方の点がRのときである。

PQの長さは $\sqrt{(3-0)^2 + (3-9)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ である。

円Cの中心(1,2)と直線 $2x + y - 9 = 0$ との距離dは、

$d = \frac{|2(1) + 2 - 9|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ である。

点Rから直線PQまでの最大距離は $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ である。

$\triangle PQR$ の面積の最大値は $\frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times 2\sqrt{5} = 15$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$, 中心: (1,2), 半径: $\sqrt{5}$

(2) $l: y = -2x + 9$, 最大値: 15