問題は、与えられた点を通る、与えられた直線に平行または垂直な直線の式を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。 (1) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。 (2) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題は、与えられた点を通る、与えられた直線に平行または垂直な直線の式を求める問題です。具体的には以下の2つの問題を解きます。

(1) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に平行な直線の方程式を求める。

(2) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に垂直な直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平行な直線

平行な直線は傾きが同じです。まず、与えられた直線 $x - 2y - 3 = 0$ を $y$ について解き、傾きを求めます。

$x - 2y - 3 = 0$ を変形すると、

$2y = x - 3$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

したがって、与えられた直線の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

求める直線は点 $(0, -7)$ を通り、傾きが $\frac{1}{2}$ なので、直線の方程式は

$y - (-7) = \frac{1}{2}(x - 0)$

$y + 7 = \frac{1}{2}x$

$2y + 14 = x$

$x - 2y - 14 = 0$

(2) 垂直な直線

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものです。与えられた直線の傾きは $\frac{1}{2}$ なので、求める直線の傾きは $-2$ です。

求める直線は点 $(0, -7)$ を通り、傾きが $-2$ なので、直線の方程式は

$y - (-7) = -2(x - 0)$

$y + 7 = -2x$

$2x + y + 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に平行な直線の方程式は、$x - 2y - 14 = 0$ です。

(2) 点 $A(0, -7)$ を通り、直線 $x - 2y - 3 = 0$ に垂直な直線の方程式は、$2x + y + 7 = 0$ です。