袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の計6個の玉が入っている。机の上に、赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順にそれぞれの色の皿の上に置く。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数を$X$とする。 (1) $X=3$となる確率を求めよ。 (2) $X=2$となる確率を求めよ。 (3) $X$の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉3個、青玉2個、黄玉1個の計6個の玉が入っている。机の上に、赤、青、黄色の皿が1枚ずつ置かれている。袋から1個ずつ3個の玉を取り出し、取り出した順にそれぞれの色の皿の上に置く。玉の色と皿の色が一致している皿の枚数を$X$とする。

(1) $X=3$となる確率を求めよ。

(2) $X=2$となる確率を求めよ。

(3) $X$の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $X=3$となるのは、取り出した玉の色が全て皿の色と一致する場合である。

1番目に赤玉、2番目に青玉、3番目に黄玉を取り出す必要がある。

その確率は、

$P(X=3) = \frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

(2) $X=2$となるのは、3つのうち2つの玉の色と皿の色が一致する場合である。

一致しない玉は1つ。

一致しない玉が1番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$。

一致しない玉が2番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$。

一致しない玉が3番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$。

一致しない玉が1番目の場合を考える。1番目に青玉か黄玉が出ればよいので、確率は$\frac{3}{6}$ではなく$\frac{3}{6}$。その確率は、

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}$

一致しない玉が2番目の場合を考える。2番目に赤玉か黄玉が出ればよいので、確率は$\frac{2}{5}$ではなく$\frac{3}{5}$。その確率は、

$\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$

一致しない玉が3番目の場合を考える。3番目に赤玉か青玉が出ればよいので、確率は$\frac{1}{4}$ではなく$\frac{3}{4}$。その確率は、

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

よって、$X=2$となる確率は、

$P(X=2) = (\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4})+(\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}) = \frac{6}{120} + \frac{9}{120} + \frac{18}{120} = \frac{33}{120} = \frac{11}{40}$

$X=1$となる確率を求める。

３つのうち１つの玉の色と皿の色が一致する場合である。

一致する玉が1番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{27}{120} = \frac{9}{40}$

一致する玉が2番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

一致する玉が3番目の場合、確率は $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$

$X=0$となる確率を求める。

$\frac{3}{6} \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$

よって、$X=1$となる確率は、

$P(X=1) = \frac{9}{40} + \frac{3}{20} + \frac{3}{40} = \frac{9}{40} + \frac{6}{40} + \frac{3}{40} = \frac{18}{40} = \frac{9}{20}$

$X=0$となる確率は、

$P(X=0) = 1 - \frac{1}{20} - \frac{11}{40} - \frac{9}{20} = 1 - \frac{2}{40} - \frac{11}{40} - \frac{18}{40} = 1 - \frac{31}{40} = \frac{9}{40}$

(3) $X$の期待値は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3)$

$E(X) = 0 \times \frac{9}{40} + 1 \times \frac{9}{20} + 2 \times \frac{11}{40} + 3 \times \frac{1}{20} = 0 + \frac{18}{40} + \frac{22}{40} + \frac{6}{20} = \frac{18+22+12}{40} = \frac{52}{40} = \frac{13}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $X=3$となる確率: $\frac{1}{20}$

(2) $X=2$となる確率: $\frac{11}{40}$

(3) $X$の期待値: $\frac{13}{10}$